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文章不含公式，内含长图，收藏后观看效果更佳
引言CFS，CFT，DTFT，DFS，DFT，FFT
上述6种傅里叶有何种联系与区别？
我在上学的时候，最先面对的是傅里叶级数CFS，还算勉强接受，毕竟《高等数学》有一章的内容就是"级数"。
图1 傅里叶级数展开动图；来源：自制
连续时间傅里叶级数CFS之后，便是傅里叶变换CFT了。
傅里叶变换CFT，就是将CFS的周期看作无穷大，勉强能懂。
但在这个时候，老师告诉我们，其实周期信号也可以用傅里叶变换CFT来表示，
因为有一个冲激函数δ的存在。
好吧，傅里叶变换统一了周期与非周期信号，也挺好！
直到Z变换、离散时间傅里叶变换DTFT、DFT、FFT的出现，自此逐渐地走向疯狂，沉迷于公式中无法自拔。
图2 上学时的6种傅里叶变换；来源：Pixabay自绘
时过境迁，那些公式一直在，改变的却是自己看待问题的角度。尤其当我工作中处处使用或者向别人讲解之时，感触尤为明显。
有三点Tips，希望对大家理解本文或者傅里叶变换有所帮助：
傅里叶变换是一种数学变换；不要沉迷于公式；让芯片或者计算机帮助我们傅里叶变换；这三条TIP的释义，将贯穿文章始终。
从1张图说起如果在这里，放入公式，很多读者必然弃之。
因为这和教材无异：从开始到结束，每一步如何得到，逻辑很强，“微观”层面自然不在话下。
但不适合宏观角度的剖析。
图3 方波信号分解成不同频率的正弦波
傅里叶级数，我不再赘述了，想要了解的，可以看我之前文章。
这里放一张用Matlab自制的一幅图。
图4 从傅里叶变换CFT到离散傅里叶变换DFT；来源：自制
这一幅图是这篇文章的核心。
(a)行是连续时间傅里叶变换CFT，值得注意的是，这其实是一个周期余弦函数cos，角频率ω1=2π/5，只不过图中只画出了[-10,10]的部分。
那么根据《信号与系统》的知识，周期余弦函数的傅里叶变换为冲激函数。
图5 周期余弦信号的傅里叶变换CFT；来源：网络
(a1)为余弦信号cos(2π/5t)，(a2)为其傅里叶变换，在±2π/5均有一个冲激，幅度大小为π。
(b)行也是连续时间傅里叶变换CFT，也是余弦函数cos，(b1)和(a1)看起来一样。
但其实并不一样，(b1)是在(a1)的基础上，只截取[-τ/2,τ/2]区间的余弦cos函数，相对于无限长的周期余弦信号，加了一个窗，窗口的大小为τ。
(b1)的函数等于cos(2π/5t)乘以Gτ(t)，Gτ(t)为窗函数，τ=20。
性质：
时域的乘积对应频域的卷积；与冲激函数δ(t-t0)信号相卷积的结果，相当于把函数本身延迟t0；所以，在频域中(b2)的波形，就是将窗函数的频域波形，向±2π/5处平移。
图6 加窗余弦信号的傅里叶变换；来源：网络
我们知道计算机、数字信号处理器DSP都是处理离散信号的，而以上我们讨论的，还都是连续时间信号。
所以，必然会想到对数据进行抽样，或者说是采样，使其离散化。
那么，现在我们对(b1)的加窗余弦信号，进行采样，采样率为2Hz，采样间隔Ts = 0.5s。
为了便于看清楚采样的过程，我把原来的余弦信号用黑色虚线画出，采样的点用柱状线画出，见(c1)。
性质：
时域的离散化，频域就会周期化。时域的采样周期为ωs，且频域的延拓周期ws；所以采样的结果，就是频域在(b2)的基础上进行周期延拓。
对于(c1)的离散时间信号求傅里叶变换，就是我们说的离散时间傅里叶变换DTFT。
求出的结果是(b2)基础上的周期延拓，必然是连续的、周期的函数，见(c2)；
但此时，频域仍然是连续的函数。
所以，我们在对频域(c2)函数进行采样。
同理，频域的采样，必然造成时域函数的周期性延拓。
此时，时间域和频域都是周期的、离散的，这就是离散傅里叶级数DFS。
如果我们只取一个周期出来分析，就是离散傅里叶变换DFT。这个周期也称之为主值区间。
所谓的快速傅里叶变换FFT就是DFT的快速计算方法，不是什么新鲜玩意。
(d1)和(d2)就是DFT/FFT的过程，时域和频域均已离散化，适合计算机处理。
他山之石之前的文章[1]中，也分析过这个过程，可以参照图7。
图7 四种经典的傅里叶变换；来源：郑君里信号与系统截图
图7中(a)为连续时间的傅里叶变换，(b)为周期信号的傅里叶级数，(c)为离散时间傅里叶变换DTFT；
可以看出对时域信号采样的过程，采样间隔为Ts；频域信号明细延拓为周期信号了，周期为fs=1/Ts；
(d)为离散傅里叶级数DFS，对频域采样，时域延拓。
图8 傅里叶之间的关系，来源BitArt
网络上很多小伙伴转载了图8，我查了下源头，为BitArt的博客，文末附上原文地址[2]。
图8说的也非常棒，他用一个三角形波形来做解释，看起来可能更加的直观。
至于我为什么选择余弦信号，因为我主要想让读者理解加窗的含义，也就是图7 a行和b行的区别。如果这个搞混淆了，那也谈不上理解其他的了。
图8(1)是一个模型三角形信号，对其进行傅里叶变换得到图8(2)。
因为计算机要处理数字信号，所以需要离散化的过程，离散离不开采样，图8(2)(3)就是采样的脉冲序列和频谱，根据上文所说的性质
我们可以得到图8(4)(5)，此时图8(5)已经是离散信号了，所以图8(6)的变换，称之为离散时间傅里叶变换DTFT。
为什么叫离散时间？因为只有时间域是离散的，频域还不是。
同样的，对频域进行采样，采样序列为图8(8)，时域波形为图8(7)
这次是频域相乘，时域卷积了。
我们取图8(10)周期序列的主值区间，并记为X(k)，它就是序列x[n]的DFT(Discrete Fourier Transform)，即离散傅立叶变换。
总结如何弄清楚傅里叶变换？上文说了2000余字。总体的思想：傅里叶变换就是一种工具。
例如：在时域中无法区分的信号，或者不同用户的数据，我们可以在频域中区分或者解调出。
就像5G中使用FFT变换一样，把时间-频率划分成多个资源块，就像这样。
图9 5G时频资源网格；来源网络
最好自己动手。
打开Matlab(如果你有的话，没有的话私信)，学会使用fft函数，当你能用fft函数画出自己想要的频谱时，当明白采样频率fs、采样点数N设置时，基本就明白了，不信可以试试哦。
参考文献想要画出正确的频谱图，不是直接调用MATLAB FFT函数那么简单
[2]https://www.cnblogs.com/BitArt/archive/2012/11/24/2786390.html
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